n是正数 1^2<2^1 2^3<3^2 3^4>4^3 4^5>5^4 5^6>6^5...n^n+1和(n+1)^n的大小关系是什么

n=1时，n^(n+1)=1<(n+1)^n=2
n=2时，n^(n+1)=8<(n+1)^n=9
n=3时，n^(n+1)=81>(n+1)^n=64
n=4时，n^(n+1)=1024>(n+1)^n=625
......
......
所以有当n≤2时，n^(n+1)<(n+1)^n
当n≥3时，n^(n+1)>(n+1)^n

用数学数学归纳法证明如下：
设f(x)=lnx/x(x≥1)
对函数求导得到f'(x)=(1-lnx)/x^2
所以有当1≤x≤e时，f'(x)>0函数是单调增的。
当x>e时，f'(x)<0函数是单调减的。
所以有当n≥3时,lnn/n>ln(n+1)/(n+1)
故有(n+1)lnn>nln(n+1)
即lnn^(n+1)>ln(n+1)^n,而函数y=lnx是单调增的，所以有
当n≥3时
n^(n+1)>(n+1)^n

故：当n≤2时，n^(n+1)<(n+1)^n
当n≥3时，n^(n+1)>(n+1)^n